一変数関数の時の微分とは、要は接線の式でした。多変数関数の時は偏微分と全微分がありますが、これらはグラフでいうと何になるのでしょうか？
　ここにボールがあるとします。ボールを固定して、ある一点を決めます。（空気入れる穴とか）この点のまわりでのボールの様子を考えてみます。微分の話に持ち込むには座標を決めないといけないので、ここでは東西、南北、上下方向をそれぞれx,y,z軸にします。まず、この点に接して、かつ上から見ると東西を向くように(南北方向には振れないように)鉛筆（直線）をあててみます。すると鉛筆は水平面に対しいくらか傾いていると思います。この傾きの値が

です。「南北方向に振れない」というのは、「yを定数と思って」というのに対応しているわけ。同様に「東西に振れない」とすると

も求まります。「偏微分可能」ってのは、上の条件を満たすようにうまく直線を当てられるということです。「南北方向に振れない」とか条件を付けなかったら、ある点に接するような鉛筆の当て方ってのは無数にありますが、実はこれらは一つの平面上にあります。この平面はその点でボールに「接する平面」で、通常一つしかありません。「全微分」ってのは、実はこの平面を表しています…といっても一見しただけでは平面の式に見えませんよね。では、こう変形してはどうでしょうか。dをδにすると

ほら、ちゃんと平面の式になった！「全微分可能」ってのは、ちゃんとこの平面が定まる、ということ。
「全微分不可」というのは、例えばサイコロの頂点を考えて下さい。この点は偏微分もできません。「偏微分可能だけど全微分不可能」ってのは、サイコロの辺のところを考えてみよう。

前に関数とは「x」という入力に対して「y」を出力する操作（写像）だと書きましたが、こちらを用いて偏微分・全微分を考えてみます。写像の考え方をした場合、微分という操作はグラフの時の「傾き」のように簡単に見ることは出来ませんが、微分とは元々「xを少しだけ動かした時にyはどれだけ動くか」ということなので、 dy=f'(x)*dxと書くことが出来ます。この式は、ある点(a,f(a))の付近ではf(x)という変換が一次式で表せる（線形である）ことを示しています。上と同様に考えると、「入力(x,y)が少し変化した時にzはどれだけ変化するか」ということなので、dz= A*dx+B*dyと書けます。この時A=f_x (x,y),B=f_y(x,y)となっているのです。
上で、dz=(f_x , f_y)・(dx,dy)とも書けます。この場合、全微分は(f_x , f_y)というベクトルで表されています。全微分のx成分がf_x、y成分がf_yだということ。だから、偏微分は「全微分の片割れ」と考えると分かりやすいかも。

偏微分と全微分

グラフで考える

写像として考える